Poissonfördelningen är fördelningen för sällsynta händelser - när något händer sällan men vi observerar länge eller över ett stort område. Antal telefonsamtal per timme, defekter per kilometer väg, eller cykelolyckor per år följer ofta Poisson. Den magiska egenskapen är att både väntevärde och varians är lika med samma parameter λ.

Fördjupning

Poissonfördelningen beskriver antalet händelser i ett fixerat intervall (tid, rum, volym) när händelserna inträffar oberoende med konstant genomsnittlig hastighet. Den uppstår som gränsfall av binomialfördelningen när n→∞, p→0 och np→λ. Parametern λ representerar både väntevärdet och variansen.

Definition och egenskaper

X ~ Poisson(λ) har sannolikhetsfunktion P(X=k) = e^(-λ)λ^k/k! för k=0,1,2,... Parametern λ > 0 är genomsnittlig händelsefrekvens.

Väntevärde och varians

För X ~ Poisson(λ): E[X] = λ och Var(X) = λ. Detta är unikt för Poissonfördelningen - parametern bestämmer både centrum och spridning.

Approximation av binomial

När n är stor och p liten så att np ≈ λ, approximerar Poisson(λ) binomialfördelningen Bin(n,p). Tumregel: n ≥ 30 och p ≤ 0.1.

Defekta produkter

1000 produkter, 0.2% defekt rate. Poisson(2) approximerar Bin(1000, 0.002) mycket väl.

Sammansättning av Poisson

Om X ~ Poisson(λ₁) och Y ~ Poisson(λ₂) är oberoende, då X+Y ~ Poisson(λ₁+λ₂). Detta gör Poisson idealisk för aggregering.

Olyckor

Bilolyckor (λ₁=3/dag) + MC-olyckor (λ₂=1/dag) = Totala olyckor ~ Poisson(4).

Vanliga misstag

❌ Använda Poisson för vanliga händelser

Poisson är för sällsynta händelser (små p, stora n)

Exempel: Antal 6:or vid 10 tärningskast → använd binomial, inte Poisson

❌ Ignorera oberoendekriteriet

Händelser måste inträffa oberoende

Exempel: Jordbävningar är inte oberoende (efterskälv) → Poisson olämplig

Tillämpningar

Köteorier

Antal ankommande kunder per tidsenhet

Exempel: Bankkö, kundtjänst, webbservertrafik

Kvalitetskontroll

Antal defekter per enhet

Exempel: Fel per meter tyg, buggar per 1000 rader kod

Radioaktivt sönderfall

Antal sönderfall per tidsenhet

Exempel: Geiger-räknare, datering av arkeologiska fynd

Övningar

1 Lätt

Telefonväxel: 3 samtal/timme i genomsnitt. Sannolikhet för exakt 5 samtal nästa timme?

Tips

X ~ Poisson(3), beräkna P(X=5)

Visa facit

1. P(X=5) = e^(-3) × 3^5 / 5!
2. = 0.0498 × 243 / 120
3. ≈ 0.101

Svar: ≈ 0.101

2 Medel

Approximera Bin(100, 0.03) med Poisson. Beräkna P(X ≤ 2).

Tips

λ = np = 100 × 0.03 = 3

Visa facit

1. Poisson(3): P(X≤2) = P(0) + P(1) + P(2)
2. = e^(-3)[1 + 3 + 9/2]
3. = 0.0498 × 8.5 ≈ 0.423

Svar: ≈ 0.423

Sammanfattning

Poissonfördelningen modellerar sällsynta händelser med konstant genomsnittlig frekvens. E[X] = Var(X) = λ. Approximerar binomial när n stort och p litet. Additiv egenskap gör den idealisk för aggregering av oberoende processer.